Занятие 2 Динамическое Программирование

Попробуем формализовать свойство задачи, которое позволяет применять указанный метод. То есть оптимальное решение задачи содержит оптимальные решения ее подзадач. Чтобы убедиться, что задача обладает этим свойством, надо показать, что, улучшая решение подзадачи, мы улучшим и решение исходной задачи. Наличие оптимальной подструктуры в задаче используется для определения применимости динамического программирования и жадных алгоритмов для решения оной. Например, задача по нахождению кратчайшего пути между некоторыми вершинами графа содержит в себе оптимальное решение подзадач. В силу фундаментальности постановки задачи, данный алгоритм может быть применен в самых различных прикладных областях.

динамическое программирование

Если каждый из пикселей в строке выше кодирует путь, пройденный до этой точки, то мы по сути смотрим на полную историю до этой точки. Вычислив энергию каждого пикселя, мы можем найти шов с наименьшей энергией от верхней части изображения к нижней. Такой же анализ применим и для горизонтальных швов для уменьшения высоты исходного изображения. Однако мы сосредоточимся на вертикальных. Да, наверняка у вас есть/был способ, который решал бизнес-цели задачи.

Мы не можем заглянуть в будущее, однако способны учесть всё, что нам уже известно к настоящему моменту. Функция энергии хорошо работает на фотографии сёрфера. Однако она принимает очень большой диапазон значений. Поэтому при визуализации кажется, что на большей части фотографии у пикселей нулевая энергия. На самом деле там просто очень низкие значения по сравнению с регионами с самой высокой энергией.

В следующем коде Python на входе список строк, где каждая строка содержит список чисел, представляющих отдельные энергии пикселей в этой строке. Входные данные называются pixel_energies, а pixel_energies представляет энергию пикселя в координатах . Как следует из базового сценария рекуррентного соотношения, верхнюю строку подзадач можно инициализировать значениями энергии отдельных пикселей. Проблема с жадным подходом в том, что при принятии решения о следующем шаге мы не учитываем остальную часть шва впереди.

Реализация Через Массив Значений

В 1940 году он использовал этот термин для задач, где решение одной части задачи зависело от другой. Затем в 1953-м Беллман изменил и дополнил определение динамического программирования до его текущего вида. Есть еще одна важная вещь, которую мы можем вывести из DAG. Каждая подзадача зависит только от двух других. Если вы вычисляете Fm, то вам нужны только результаты Fm-1 и Fm-2, и совершенно не нужно Fm-10.

Перед каждым вычислением мы проверяем, есть ли вычисляемое значение в этой структуре, и если есть, используем его. В качестве структуры данных можно использовать массив, заполненный флаговыми значениями. Если значение элемента по индексу N равно значению флага, значит, мы его ещё не вычисляли. Это создаёт определённые трудности, т.к. Значение флага не должно принадлежать множеству значений функции, которое не всегда очевидно. Лично я предпочитаю использовать хэш-таблицу — все действия в ней выполняются за O, что очень удобно.

Итак, пусть у нас есть функция DP_steps — возвращает количество различных способов подняться в зависимости от n ступенек. Прикладным программистам при использовании этого подхода стоит в первую очередь разделить бизнес-логику и алгоритмическую часть. Чтобы не приходилось потом объяснять продуктовым людям, почему вы упустили баг, в котором берете элемент под индексом a hundred (arr) из массива размером в one hundred. Но это, конечно же, касается не только ДП.

Рекурсия И Динамическое Программирование

То же самое делаем для пикселей выше и ниже центрального. Наконец, складываем горизонтальные и вертикальные расстояния. Опять же, алгоритм вполне логично удалил неподвижную воду посередине, а также в левой части фотографии. Но в отличие от кадрирования, сохраняется текстура воды слева и нет резких переходов.

20-е число посчитать еще можно будет, а 40-е число – нет. А потому, что мы будем делать слишком много лишней работы. Число операций будет экспоненциально относительно $N$. Другими словами название динамическое программирование на самом деле ничего не означает.

Поскольку мы удаляем один пиксель в каждой строке, начиная с изображения , то получаем изображение . Как обычно, теперь нужно формализовать идею в рекуррентное соотношение. Существует подзадача, соответствующая каждому пикселю в исходном изображении, поэтому входы в наше рекуррентное соотношение могут быть просто координатами и этого пикселя. Это даёт целочисленные входы, позволяя легко упорядочивать подзадачи, а также возможность хранить ранее вычисленные значения в двумерном массиве. https://etexport.net — это подход к решению алгоритмических задач, который может сильно уменьшить время работы программ.

Стопка считается взрывоопасной, если в ней подряд идет более двух контейнеров типа A. Для заданного количества контейнеров N определить число безопасных стопок. На вершине лесенки, содержащей N ступенек, находится мячик, который начинает прыгать по ним вниз, к основанию. Мячик может прыгнуть на следующую ступеньку, на ступеньку через одну или через 2. (То есть, если мячик лежит на 8-ой ступеньке, то он может переместиться на 5-ую, 6-ую или 7-ую.) Определить число всевозможных “маршрутов” мячика с вершины на землю. Пользуясь полученной информацией, построить оптимальное решение.

Для решения задач оптимизации существует специальная теория, большая заслуга в ее создании принадлежит Р. В общем виде она достаточна сложна, поэтому здесь не рассматривается. В то же время конкретные задачи, рассмотренные ниже, вполне могут сформировать (хотя бы на интуитивном уровне) идеи, лежащие в основе решения задач данного класса.